Álgebra Relacional

El Álgebra Relacional es un lenguaje formal y matemático de tipo procedural propuesto por Edgar F. Codd que define las operaciones teóricas para manipular relaciones (tablas) y obtener nuevas relaciones como resultado. Es el fundamento teórico directo sobre el que se diseñan los motores de bases de datos relacionales y el lenguaje SQL.

1. Naturaleza y Principio de Clausura #

En el álgebra relacional:

Entrada: Una o dos relaciones (tablas).
Salida: Siempre una nueva relación (tabla).

NOTE
Principio de Clausura: Como el resultado de cualquier operación algebraica es siempre una nueva relación, las operaciones pueden anidarse y combinarse indefinidamente para construir consultas complejas.

2. Operaciones Unarias (Operan sobre 1 sola relación) #

A. Selección ( $\sigma$ - Sigma) #

Filtra y devuelve las filas (tuplas) que cumplen una condición o predicado lógico.

$\sigma_{\text{condición}}(R)$

Equivalente en SQL: Cláusula WHERE.
Ejemplo: Obtener los empleados con salario superior a 2.000 €: $\sigma_{\text{salario} > 2000}(\text{EMPLEADOS})$

1SELECT * FROM EMPLEADOS WHERE salario > 2000;

B. Proyección ( $\pi$ - Pi) #

Selecciona un subconjunto de columnas (atributos) de la relación, eliminando automáticamente las filas duplicadas resultantes.

$\pi_{\text{atributo1, atributo2, ...}}(R)$

Equivalente en SQL: Cláusula SELECT DISTINCT columna1, columna2.
Ejemplo: Obtener solo el nombre y correo de todos los clientes: $\pi_{\text{nombre, email}}(\text{CLIENTES})$

1SELECT DISTINCT nombre, email FROM CLIENTES;

C. Renombramiento ( $\rho$ - Rho) #

Asigna un nuevo nombre a una relación o a sus atributos para evitar ambigüedades en operaciones compuestas.

$\rho_{S}(R) \quad \text{o} \quad \rho_{S(A1, A2, \dots)}(R)$

Equivalente en SQL: Cláusula AS.

3. Operaciones de Conjuntos (Exigen Compatibilidad de Unión) #

Para poder aplicar estas operaciones, ambas relaciones $R$ y $S$ deben ser compatibles de unión: deben tener el mismo número de atributos y dominios compatibles en el mismo orden.

A. Unión ( $R \cup S$ ) #

Devuelve todas las tuplas que pertenecen a $R$ , a $S$ o a ambas (sin duplicados).

Equivalente en SQL: UNION.

B. Intersección ( $R \cap S$ ) #

Devuelve únicamente las tuplas que están presentes simultáneamente tanto en $R$ como en $S$ .

Equivalente en SQL: INTERSECT.

C. Diferencia ( $R - S$ ) #

Devuelve las tuplas que están en $R$ pero no están en $S$ .

Equivalente en SQL: EXCEPT (o MINUS en Oracle).

4. Operaciones Binarias Combinadas #

A. Producto Cartesiano ( $R \times S$ ) #

Combina cada fila de $R$ con todas y cada una de las filas de $S$ .

Si $R$ tiene $n$ filas y $S$ tiene $m$ filas, el resultado tiene $n \times m$ filas.
Equivalente en SQL: CROSS JOIN (o FROM R, S).

B. Reunión Natural / Natural Join ( $R \bowtie S$ ) #

Une las tuplas de $R$ y $S$ que coinciden en los valores de todos los atributos que tienen el mismo nombre en ambas tablas, eliminando las columnas duplicadas.

Ejemplo: Unir clientes con sus pedidos por id_cliente: $\text{CLIENTES} \bowtie \text{PEDIDOS}$

1SELECT * FROM CLIENTES NATURAL JOIN PEDIDOS;

C. Theta-Join ( $R \bowtie_{\theta} S$ ) #

Es un producto cartesiano seguido de una selección con una condición de comparación arbitraria $\theta$ (usando $=, <, >, \le, \ge, \neq$ ).

Equivalente en SQL: INNER JOIN ... ON condición.
Ejemplo: $\text{EMPLEADOS} \bowtie_{\text{EMPLEADOS.id\_depto} = \text{DEPARTAMENTOS.id\_depto}} \text{DEPARTAMENTOS}$

1SELECT * 
2FROM EMPLEADOS 
3INNER JOIN DEPARTAMENTOS ON EMPLEADOS.id_depto = DEPARTAMENTOS.id_depto;

D. División ( $R \div S$ ) #

Responde a consultas que expresan la condición universal «todos» o «cada uno de».

Ejemplo: Encontrar los números de cliente que han comprado todos los productos del catálogo.

5. Tabla de Equivalencias entre Álgebra Relacional y SQL #

Operación Álgebra Relacional	Símbolo	Cláusula / Comando SQL
Selección	$\sigma$	`SELECT * FROM R WHERE condición`
Proyección	$\pi$	`SELECT DISTINCT col1, col2 FROM R`
Renombramiento	$\rho$	`SELECT col AS nuevo_nombre FROM R AS S`
Unión	$\cup$	`SELECT * FROM R UNION SELECT * FROM S`
Intersección	$\cap$	`SELECT * FROM R INTERSECT SELECT * FROM S`
Diferencia	$-$	`SELECT * FROM R EXCEPT SELECT * FROM S`
Producto Cartesiano	$\times$	`SELECT * FROM R CROSS JOIN S`
Theta-Join	$\bowtie_{\theta}$	`SELECT * FROM R INNER JOIN S ON condición`
Reunión Natural	$\bowtie$	`SELECT * FROM R NATURAL JOIN S`

Resumen del tema

Conceptos clave #

Principio de clausura: toda operación sobre relaciones produce siempre una nueva relación como resultado.
Operaciones unarias: $\sigma$ filtra filas por condición y $\pi$ selecciona columnas sin duplicados.
Compatibilidad de unión: requisito indispensable para $\cup$ , $\cap$ y $-$ (mismo número de atributos y tipos compatibles).
Joins: el producto cartesiano ( $\times$ ) combina todo con todo; el Theta-Join ( $\bowtie_{\theta}$ ) filtra por condición y el Natural Join ( $\bowtie$ ) empareja por columnas con idéntico nombre.
Base de SQL: los optimizadores de consultas de los motores RDBMS traducen sentencias SQL a árboles de expresiones de álgebra relacional para ejecutar planes eficientes.

Qué debes recordar #

La Selección ( $\sigma$ ) filtra filas (WHERE), la Proyección ( $\pi$ ) extrae columnas (SELECT DISTINCT) y el Join ( $\bowtie$ ) cruza relaciones vinculando claves (INNER JOIN ON).

Álgebra Relacional

1. Naturaleza y Principio de Clausura #

En el álgebra relacional:

Entrada: Una o dos relaciones (tablas).
Salida: Siempre una nueva relación (tabla).

NOTE
Principio de Clausura: Como el resultado de cualquier operación algebraica es siempre una nueva relación, las operaciones pueden anidarse y combinarse indefinidamente para construir consultas complejas.

2. Operaciones Unarias (Operan sobre 1 sola relación) #

A. Selección ( $\sigma$ - Sigma) #

Filtra y devuelve las filas (tuplas) que cumplen una condición o predicado lógico.

$\sigma_{\text{condición}}(R)$

Equivalente en SQL: Cláusula WHERE.
Ejemplo: Obtener los empleados con salario superior a 2.000 €: $\sigma_{\text{salario} > 2000}(\text{EMPLEADOS})$

1SELECT * FROM EMPLEADOS WHERE salario > 2000;

B. Proyección ( $\pi$ - Pi) #

Selecciona un subconjunto de columnas (atributos) de la relación, eliminando automáticamente las filas duplicadas resultantes.

$\pi_{\text{atributo1, atributo2, ...}}(R)$

Equivalente en SQL: Cláusula SELECT DISTINCT columna1, columna2.
Ejemplo: Obtener solo el nombre y correo de todos los clientes: $\pi_{\text{nombre, email}}(\text{CLIENTES})$

1SELECT DISTINCT nombre, email FROM CLIENTES;

C. Renombramiento ( $\rho$ - Rho) #

Asigna un nuevo nombre a una relación o a sus atributos para evitar ambigüedades en operaciones compuestas.

$\rho_{S}(R) \quad \text{o} \quad \rho_{S(A1, A2, \dots)}(R)$

Equivalente en SQL: Cláusula AS.

3. Operaciones de Conjuntos (Exigen Compatibilidad de Unión) #

Para poder aplicar estas operaciones, ambas relaciones $R$ y $S$ deben ser compatibles de unión: deben tener el mismo número de atributos y dominios compatibles en el mismo orden.

A. Unión ( $R \cup S$ ) #

Devuelve todas las tuplas que pertenecen a $R$ , a $S$ o a ambas (sin duplicados).

Equivalente en SQL: UNION.

B. Intersección ( $R \cap S$ ) #

Devuelve únicamente las tuplas que están presentes simultáneamente tanto en $R$ como en $S$ .

Equivalente en SQL: INTERSECT.

C. Diferencia ( $R - S$ ) #

Devuelve las tuplas que están en $R$ pero no están en $S$ .

Equivalente en SQL: EXCEPT (o MINUS en Oracle).

4. Operaciones Binarias Combinadas #

A. Producto Cartesiano ( $R \times S$ ) #

Combina cada fila de $R$ con todas y cada una de las filas de $S$ .

Si $R$ tiene $n$ filas y $S$ tiene $m$ filas, el resultado tiene $n \times m$ filas.
Equivalente en SQL: CROSS JOIN (o FROM R, S).

B. Reunión Natural / Natural Join ( $R \bowtie S$ ) #

Une las tuplas de $R$ y $S$ que coinciden en los valores de todos los atributos que tienen el mismo nombre en ambas tablas, eliminando las columnas duplicadas.

Ejemplo: Unir clientes con sus pedidos por id_cliente: $\text{CLIENTES} \bowtie \text{PEDIDOS}$

1SELECT * FROM CLIENTES NATURAL JOIN PEDIDOS;

C. Theta-Join ( $R \bowtie_{\theta} S$ ) #

Es un producto cartesiano seguido de una selección con una condición de comparación arbitraria $\theta$ (usando $=, <, >, \le, \ge, \neq$ ).

Equivalente en SQL: INNER JOIN ... ON condición.
Ejemplo: $\text{EMPLEADOS} \bowtie_{\text{EMPLEADOS.id\_depto} = \text{DEPARTAMENTOS.id\_depto}} \text{DEPARTAMENTOS}$

1SELECT * 
2FROM EMPLEADOS 
3INNER JOIN DEPARTAMENTOS ON EMPLEADOS.id_depto = DEPARTAMENTOS.id_depto;

D. División ( $R \div S$ ) #

Responde a consultas que expresan la condición universal «todos» o «cada uno de».

Ejemplo: Encontrar los números de cliente que han comprado todos los productos del catálogo.

5. Tabla de Equivalencias entre Álgebra Relacional y SQL #

Operación Álgebra Relacional	Símbolo	Cláusula / Comando SQL
Selección	$\sigma$	`SELECT * FROM R WHERE condición`
Proyección	$\pi$	`SELECT DISTINCT col1, col2 FROM R`
Renombramiento	$\rho$	`SELECT col AS nuevo_nombre FROM R AS S`
Unión	$\cup$	`SELECT * FROM R UNION SELECT * FROM S`
Intersección	$\cap$	`SELECT * FROM R INTERSECT SELECT * FROM S`
Diferencia	$-$	`SELECT * FROM R EXCEPT SELECT * FROM S`
Producto Cartesiano	$\times$	`SELECT * FROM R CROSS JOIN S`
Theta-Join	$\bowtie_{\theta}$	`SELECT * FROM R INNER JOIN S ON condición`
Reunión Natural	$\bowtie$	`SELECT * FROM R NATURAL JOIN S`

Resumen del tema

Conceptos clave #

Principio de clausura: toda operación sobre relaciones produce siempre una nueva relación como resultado.
Operaciones unarias: $\sigma$ filtra filas por condición y $\pi$ selecciona columnas sin duplicados.
Compatibilidad de unión: requisito indispensable para $\cup$ , $\cap$ y $-$ (mismo número de atributos y tipos compatibles).
Joins: el producto cartesiano ( $\times$ ) combina todo con todo; el Theta-Join ( $\bowtie_{\theta}$ ) filtra por condición y el Natural Join ( $\bowtie$ ) empareja por columnas con idéntico nombre.
Base de SQL: los optimizadores de consultas de los motores RDBMS traducen sentencias SQL a árboles de expresiones de álgebra relacional para ejecutar planes eficientes.

Qué debes recordar #

La Selección ( $\sigma$ ) filtra filas (WHERE), la Proyección ( $\pi$ ) extrae columnas (SELECT DISTINCT) y el Join ( $\bowtie$ ) cruza relaciones vinculando claves (INNER JOIN ON).

Álgebra Relacional

1. Naturaleza y Principio de Clausura #

2. Operaciones Unarias (Operan sobre 1 sola relación) #

A. Selección (σ\sigmaσ - Sigma) #

B. Proyección (π\piπ - Pi) #

C. Renombramiento (ρ\rhoρ - Rho) #

3. Operaciones de Conjuntos (Exigen Compatibilidad de Unión) #

A. Unión (R∪SR \cup SR∪S) #

B. Intersección (R∩SR \cap SR∩S) #

C. Diferencia (R−SR - SR−S) #

4. Operaciones Binarias Combinadas #

A. Producto Cartesiano (R×SR \times SR×S) #

B. Reunión Natural / Natural Join (R⋈SR \bowtie SR⋈S) #

C. Theta-Join (R⋈θSR \bowtie_{\theta} SR⋈θ​S) #

D. División (R÷SR \div SR÷S) #

5. Tabla de Equivalencias entre Álgebra Relacional y SQL #

Conceptos clave #

Qué debes recordar #

Álgebra Relacional

1. Naturaleza y Principio de Clausura #

2. Operaciones Unarias (Operan sobre 1 sola relación) #

A. Selección (σ\sigmaσ - Sigma) #

B. Proyección (π\piπ - Pi) #

C. Renombramiento (ρ\rhoρ - Rho) #

3. Operaciones de Conjuntos (Exigen Compatibilidad de Unión) #

A. Unión (R∪SR \cup SR∪S) #

B. Intersección (R∩SR \cap SR∩S) #

C. Diferencia (R−SR - SR−S) #

4. Operaciones Binarias Combinadas #

A. Producto Cartesiano (R×SR \times SR×S) #

B. Reunión Natural / Natural Join (R⋈SR \bowtie SR⋈S) #

C. Theta-Join (R⋈θSR \bowtie_{\theta} SR⋈θ​S) #

D. División (R÷SR \div SR÷S) #

5. Tabla de Equivalencias entre Álgebra Relacional y SQL #

Conceptos clave #

Qué debes recordar #

A. Selección ( $\sigma$ - Sigma) #

B. Proyección ( $\pi$ - Pi) #

C. Renombramiento ( $\rho$ - Rho) #

A. Unión ( $R \cup S$ ) #

B. Intersección ( $R \cap S$ ) #

C. Diferencia ( $R - S$ ) #

A. Producto Cartesiano ( $R \times S$ ) #

B. Reunión Natural / Natural Join ( $R \bowtie S$ ) #

C. Theta-Join ( $R \bowtie_{\theta} S$ ) #

D. División ( $R \div S$ ) #

A. Selección ( $\sigma$ - Sigma) #

B. Proyección ( $\pi$ - Pi) #

C. Renombramiento ( $\rho$ - Rho) #

A. Unión ( $R \cup S$ ) #

B. Intersección ( $R \cap S$ ) #

C. Diferencia ( $R - S$ ) #

A. Producto Cartesiano ( $R \times S$ ) #

B. Reunión Natural / Natural Join ( $R \bowtie S$ ) #

C. Theta-Join ( $R \bowtie_{\theta} S$ ) #

D. División ( $R \div S$ ) #