Álgebra de Boole, Puertas Lógicas y Circuitos Digitales

El Álgebra de Boole, desarrollada por el matemático George Boole a mediados del siglo XIX, es la estructura matemática que sustenta toda la computación moderna.

En 1937, Claude Shannon demostró en su célebre tesis de máster que los circuitos con interruptores eléctricos podían resolver cualquier problema de lógica booleana. Hoy en día, miles de millones de transistores de silicio dentro de una CPU se agrupan físicamente para formar puertas lógicas (Logic Gates), capaces de realizar operaciones matemáticas complejas a velocidades de miles de millones de ciclos por segundo.

1. Las Tres Operaciones Lógicas Fundamentales #

En el Álgebra de Boole, las variables solo pueden adoptar uno de dos valores: 0 (Falso / Nivel bajo de tensión) o 1 (Verdadero / Nivel alto de tensión).

1NOT (Inversor)                  AND (Producto Lógico)                  OR (Suma Lógica)
2         ┌──────┐                             ┌──────┐                             ┌──────┐
3    A ───┤  NOT ├─── Q = ¬A              A ───┤  AND ├─── Q = A · B           A ───┤  OR  ├─── Q = A + B
4         └──────┘                        B ───┤      │                        B ───┤      │
5                                              └──────┘                             └──────┘

1. NOT (Negación / Inversor): Invierte el valor de entrada ($\bar{A}$ o $\neg A$). Si entra 0 sale 1; si entra 1 sale 0.
2. AND (Conjunción / Producto Lógico): La salida es 1 únicamente si ambas entradas son 1 ($A \cdot B$).
3. OR (Disyunción / Suma Lógica): La salida es 1 si al menos una de las entradas es 1 ($A + B$).

2. Puertas Lógicas Derivadas y Tablas de Verdad #

A partir de las tres puertas básicas se construyen compuertas más especializadas:

• NAND y NOR (Puertas Universales): Se denominan compuertas universales porque cualquier circuito digital del mundo (incluso una CPU completa) puede construirse combinando exclusivamente puertas NAND o NOR.
• XOR (Exclusive OR / OR Exclusivo): La salida es 1 si y solo si las entradas son diferentes entre sí. Es la base matemática de la suma binaria y del cifrado simétrico.

3. Leyes del Álgebra de Boole y Teoremas de De Morgan #

Permiten simplificar expresiones lógicas complejas para construir circuitos con menos transistores, menor consumo y mayor velocidad:

• Identidad: $A + 0 = A \quad\mid\quad A \cdot 1 = A$
• Elemento Nulo: $A + 1 = 1 \quad\mid\quad A \cdot 0 = 0$
• Idempotencia: $A + A = A \quad\mid\quad A \cdot A = A$
• Complemento: $A + \bar{A} = 1 \quad\mid\quad A \cdot \bar{A} = 0$
• Doble Negación: $\overline{\overline{A}} = A$
• Leyes de De Morgan:
  1. $\overline{A \cdot B} = \bar{A} + \bar{B}$ (El negado de un producto es la suma de los negados).
  2. $\overline{A + B} = \bar{A} \cdot \bar{B}$ (El negado de una suma es el producto de los negados).

Ejemplos:

• Identidad

  • A + 0 = A

    • Si A = 1 → 1 + 0 = 1
    • Si A = 0 → 0 + 0 = 0

  • A · 1 = A

    • Si A = 1 → 1 · 1 = 1
    • Si A = 0 → 0 · 1 = 0

• Elemento nulo

  • A + 1 = 1

    • Si A = 0 → 0 + 1 = 1
    • Si A = 1 → 1 + 1 = 1

  • A · 0 = 0

    • Si A = 1 → 1 · 0 = 0

• Idempotencia

  • A + A = A

    • Si A = 1 → 1 + 1 = 1

  • A · A = A

    • Si A = 0 → 0 · 0 = 0

• Complemento

  • A + A̅ = 1

    • Si A = 1, entonces A̅ = 0 → 1 + 0 = 1

  • A · A̅ = 0

    • Si A = 1, entonces A̅ = 0 → 1 · 0 = 0

• Doble negación

  • A̅̅ = A

    • Si A = 1 → A̅ = 0 → A̅̅ = 1

• De Morgan

  • \overline{A · B} = A̅ + B̅

    • Si A = 1, B = 0
    • Izquierda: \overline{1 · 0} = \overline{0} = 1
    • Derecha: 0 + 1 = 1

  • \overline{A + B} = A̅ · B̅

    • Si A = 0, B = 0
    • Izquierda: \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1
    • Derecha: 1 · 1 = 1

Un ejemplo más “real” de De Morgan sería:

NO(A Y B) = NO(A) O NO(B)

Por ejemplo:

“No es cierto que Ana y Bruno hayan aprobado”

equivale a:

“Ana no ha aprobado o Bruno no ha aprobado”.

4. De la Lógica a la Aritmética: El Circuito Semisumador (Half Adder) #

¿Cómo suma números binarios un ordenador con compuertas lógicas?

Analicemos la suma de dos bits $A$ y $B$:

• $0 + 0 = 0$ (Suma: 0, Acarreo: 0)
• $0 + 1 = 1$ (Suma: 1, Acarreo: 0)
• $1 + 0 = 1$ (Suma: 1, Acarreo: 0)
• $1 + 1 = 10_2$ (Suma: 0, Acarreo / Carry: 1)

Observa la coincidencia exacta:

• La Suma ($S$) coincide exactamente con la tabla de verdad de una puerta XOR: $S = A \oplus B$.
• El Acarreo ($C$) coincide exactamente con la tabla de verdad de una puerta AND: $C = A \cdot B$.

1CIRCUITO SEMISUMADOR (HALF ADDER)
2                       ┌─────────┐
3               A ──┬───┤         ├─── Suma (S = A ⊕ B)
4                   │   │   XOR   │
5               B ──┼───┤         │
6                   │   └─────────┘
7                   │   ┌─────────┐
8                   └───┤   AND   ├─── Acarreo (C = A · B)
9                       └─────────┘

Al encadenar varios sumadores completos (Full Adders) con acarreos previos, la Unidad Aritmético-Lógica (ALU) de la CPU es capaz de sumar enteros de 32 y 64 bits en fracciones de nanosegundo.